素数判别

由于1既不是素数也不是合数，所以下面暂未判断。如果需要则需特判如if (num == 1) return false;

方法一

bool isPrime_2( int num )
{
     int tmp =sqrt( num);
     for(int i= 2;i <=tmp; i++)
        if(num %i== 0)
          return 0 ;
     return 1 ;
}
//一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)。若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数

方法二(筛选法)

#include"cstdio"
#include"cstring"
using namespace std;
#define MAX 100000//求MAX范围内的素数
long long su[MAX],cnt;
bool isprime[MAX];
void prime()
{
    cnt=1;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));//初始化认为所有数都为素数
    isprime[0]=isprime[1]=0;//0和1不是素数
    for(long long i=2;i<=MAX;i++)
    {
        if(isprime[i])//保存素数
        {
            su[cnt++]=i;
        }
        for(long long j=i*2;j<=MAX;j+=i)//素数的倍数都为合数
        {
            isprime[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    prime();
    for(long long i=1;i<cnt;i++)
        printf("%d  ",su[i]);
    return 0;
}

方法三(剪枝)

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4 | 6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。===>只需判断6两侧的是不是质数(6x-1、6x+1)

此时判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。===>综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况(被本身更小的因数所除如22/11)，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是方法（2）的3倍。代码如下：

bool isPrime_3( int num )
{
                 //两个较小数另外处理
                 if(num ==2|| num==3 )
                                 return 1 ;
                 //不在6的倍数两侧的一定不是质数
                 if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
                                 return 0 ;
                 int tmp =sqrt( num);
                 //在6的倍数两侧的也可能不是质数
                 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
                                 if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                                                 return 0 ;
                 //排除所有，剩余的是质数
                 return 1 ;
}

for循环i从5开始而不是从7开始的原因:

从5、7开始的区别在于i <= sqrt(num)…如果是5的话，判断条件为25；如果是7的话，判断的条件就为49。

而仔细观察49内的所有质数，发现25之前的质数都是6k左右的数(6k-1,6k+1)，而25以后，就不定都有了。如26则不为质数。所以如果从5开始的话，那么25以内的数都不会进入for循环，经过if(num %6!= 1&&num %6!= 5)的筛选后，就都是素数了。而如果是从7开始，那么25-49之内的数不符合条件却不会进入for循环，所以26缺少这个for的循环判断后就被误判为素数了。

==>以我浅薄的数学见识理解，25以内素数规律的巧合性使得这些数不需要进入for循环判断，所以相比于从7开始的错误，5开始是正确的

给出Py代码

import math
def prime_num(num):
	if num == 2 or num == 3:
		return 1
	if num%6 != 1 and num%6!=5:		
		return 0
	for i in range(5,math.ceil(math.sqrt(num))+1,6):  #就剩6k-1 和 6k+1
		if num%i == 0 or num%(i-2)==0:
			return 0
	return 1

参考:https://blog.csdn.net/huang_miao_xin/article/details/51331710