范数

之前大二在看机器学习的时候一直看到"范数"这个名词, 但是一直没有去详细了解过, 就只知道2-范数相当于两个点在二维平面的距离。这次在看粒子滤波matlab实现代码的时候看到了norm函数, 正好补一下关于范数的概念。

向量的范数

定义

注: 简言之: ①向量的范数是定义在线性空间上的非负实数.②实内积空间和酉空间中向量的长度$|x|=\sqrt{(x,x)}$都是向量的范数③酉空间向量范数$||x||$用向量长度|x|来定义时,记作$||x||_2 = |x| = \sqrt{xx^H} = \sqrt{sum^{n}_{i=1}{ξ\bar{ξ}}}$

通式——P-范数

注: 当P->∞时$||X|| = max{\xi}$

矩阵的范数

▲以上概念来自于B站视频: 向量范数矩阵范数

Matlab中的norm

demo代码中有关norm的运用如下,

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%% 初始化粒子群
for i = 1 : N
    P(:, i) = [WorldSize*rand; WorldSize*rand];  %随机产生第i个粒子的坐标(rand为产生[0,1]之间均匀分布)
    dist = norm(P(:, i)-Z(:, 1)); %与测量位置相差的距离
    %求权重 (权重与距离的关系 为 均值是0,方差是sqrt(R)的高斯分布曲线)  
    %   因为均值为0且距离大于0 因此权重随着距离增加沿高斯曲线右侧递减
    w(i) = (1 / sqrt(R) / sqrt(2 * pi)) * exp(-(dist)^2 / 2 / R); 
end

其中没有特别指出是啥范数, 因此可以通过help norm来查看一下关于norm的使用介绍.

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>> help norm
 norm   Matrix or vector norm.
      norm(X,2) returns the 2-norm of X.
 	
      norm(X) is the same as norm(X,2).
 
      norm(X,1) returns the 1-norm of X.

可以得到, norm(X)的效果默认是取2-范数的。

同时， norm函数既可以取向量范数又可以取矩阵范数：

1、如果A为矩阵

• n=norm(A) 《Simulink与信号处理》

  返回A的最大奇异值，即max(svd(A))

• n=norm(A,p)

  根据p的不同，返回不同的值

2、如果A为向量

• norm(A,p)

  返回向量A的p范数。即返回 sum(abs(A).^p)(1/p),对任意 1<p<+∞.

• norm(A)

  返回向量A的2范数，即等价于norm(A,2)。

• norm(A,inf)

  返回max(abs(A))

• norm(A,-inf)

  返回min(abs(A))

Matlab中的sum

• sum(A, 1)： 对一维求和， 如果A为二维数组， 则按列求和
• sum(A, 2): 对二维求和， 如果A为二维数组， 则按行求和

Matlab中的wgn

white Gaussian noise

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>> help wgn
 wgn Generate white Gaussian noise.
    Y = wgn(M,N,P) generates an M-by-N matrix of white Gaussian noise. P
    specifies the power of the output noise in dBW. The unit of measure for
    the output of the wgn function is Volts. For power calculations, it is
    assumed that there is a load of 1 Ohm. 
 
    Y = wgn(M,N,P,IMP) specifies the load impedance in Ohms.